De vijfde schijf

Beste vriend, u zult een fantastische truc op het dambord zien. Zoals u ziet, is het dambord leeg. Plaats er vijf witte schijven op. Kies willekeurige velden- of denk er goed over na- het belangrijkste is: doe het pas als ik de kamer uit ben. Mijn lieftallige assistente zal u vragen om de vijf schijven aan haar te geven. Dan zal ik weer binnenkomen. Mijn assistente zal vervolgens vier schijven terugzetten op de door u bepaalde positie. Ikzelf zal de laatste schijf terugzetten- op het correcte veld!

checkerboardmask.jpg (20K)

Dit lijkt onmogelijk. Vier velden zijn bezet, zodat er nog 46 mogelijke plaatsen resteren. Ik heb wel een beetje informatie gehad: mijn assistente plaatste de schijven één voor één, en door een bepaalde volgorde te kiezen kan ze 4!=24 boodschappen aan mij doorgeven. Dat is een factor twee te weinig. Gebruiken we illegale middelen (een knipoog of zo) om dit laatste "bit" door te seinen? Nee. Ik verzeker je dat de enige informatie waarover ik beschik de volgorde van de vier door jou gekozen velden is. Dat is voldoende om het vijfde veld te bepalen.

Dit is van origine een kaart-goocheltruc, maar mijn versie op het dambord oogt misschien nog spectaculairder. De kaart-versie is verzonnen door William Fitch Cheney ("Fitch the Magician"). De titel van zijn proefschrift (1927) luidde "Infinitesimal deformation of surfaces in Riemann space". Hij werd later professor en verbaasde zijn studenten door wiskundige vergelijkingen met twee handen tegelijk op het bord te schrijven, eindigend in het midden, bij het =-teken.

Laten we eerst het abstracte deel behandelen. Hoe seint mijn assistente met drie schijven een cijfer van één tot en met zes door? Drie schijven kunnen in zes volgordes op het bord gezet worden. Van die drie schijven staat er één op een veld met het laagste veldnummer. Die noemen we "L". Eén staat op het veld met het hoogste veldnummer ("H") en één er tussenin ("M"). Mijn assistente en ik hebben afgesproken dat de volgorde "Lxx" 1 of 2 betekend; xLx betekend 3 of 4 en xxL beduidt 5 of 6. De positie van M bepaalt dan of het de laagste of de hoogste van de twee is.

LMH=1
LHM=2
MLH=3
HLM=4
MHL=5
HML=6

Nu het echte werk. Mentaal verdeelt mijn assistente het bord in vier segmenten.

Omdat er vijf schijven op het bord staan, moeten er zich altijd minstens twee in hetzelfde segment bevinden. Eén daarvan wordt de eerste die zij terugzet, de tweede schijf wordt door mij teruggzet. Op het moment dat de eerste schijf op het bord verschijnt is mijn keuze dus al beperkt tot elf of twaalf velden. Mijn assistente mag ook bepalen welke van die twee ze als eerste plaatst. Dat doet ze als volgt. Mijn assistente weet dat ze me een cijfer van één tot en met zes kan seinen. Ze beschouwt het segment als een klein dambord en telt het aantal lege velden dat tussen de twee schijven ligt. Laten we dat aantal N noemen. Is N kleiner dan zes, dan plaatst ze de schijf met het laagste veldnummer in dat segment als eerste. Is N groter dan zes dan zet zij de schijf met het hoogste veldnummer terug. In dat geval wordt N bepaald door het aantal velden tot aan het eind van het segment (de rechteronderhoek) te tellen, en dan verder te tellen vanaf het begin (de linkerbovenhoek), totdat ze bij de tweede schijf is. Met de volgorde van de drie resterende schijven seint ze me N door.

Laten we zeggen dat u de positie 2,5,21,36,41 heeft gekozen. 2 en 21 zitten in hetzelfde segment.

Mijn assistente beperkt haar blik tot dit segment en telt de afstand tussen 2 en 21 als volgt:6,7,8,11,12,16,17,18,21. Negen velden, dus dat is teveel. Nogmaals tellen, maar nu vanaf 21: 22,1,2. Dat is drie. Dat is het getal dat zij aan mij doorgeeft met de overige drie schijven. Zij plaatst eerst 36 (middelste getal), vervolgens 5 (laagste) en dan 41 (hoogste).

Ik (grote goochelaar) zie dus de volgende schijven op het bord verschijnen:

In dit geval zitten 36 en 41 ook in één segment, dus mijn assistente kan kiezen welke schijf ze door mij laat terugzetten. En eigenlijk is het helemaal niet nodig de toeschouwer te beperken tot alleen witte schijven - als de assistente (die toch al het meeste werk doet) de goochelaar de laatste schijf of dam overhandigt gaat het ook goed.